二次型与正定矩阵

1. 二次型​ 二次型理论问题起源于化二次曲线和二次曲面的方程为标准形式的问题。推广到n维空间中二次超曲面的一般方程为f(x1,x2,x3,...,xn)a11x21a12x1x2...a1nx1xna21x1x2a22x22...a2nx2xn....an1xnx1an2xnx2...annx2nn∑i1n∑j1aijxixj(1)(1)(1,2,3,...,)11121212...1121122222...22....1122...2∑1∑1用矩阵表示可简记为f(x1,x2,...,xn)(x1,x2,x3,...xn)⎛⎜⎝a11,a12,...a1na21,a22,...,a2nan1,an2,...,ann⎞⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝x1x2...xn⎞⎟ ⎟ ⎟⎠xTAx(2)(2)(1,2,...,)(1,2,3,...)(11,12,...121,22,...,21,2,...,)(12...)其中x[x1,x2,...,xn]T[1,2,...,],矩阵A 的元素aijaji正是二次型的xixj项的系数的一半因此二次型和它的矩阵A 是相互唯一决定的且AAT.2. 正定矩阵定义1 正定矩阵的定义​ 如果二次型f(x1,x2,...,xn)n∑i1n∑j1aijxixjxTAx(3)(3)(1,2,...,)∑1∑1对于任何一组元素不全为0的向量x[x1,x2,x3,...,xn]T[1,2,3,...,], 恒有f(x1,x2,x3,...,xn)xTAx0(1,2,3,...,)0 ,则称二次型f(x1,x2,...xn)(1,2,...)为正定且称为二次型矩阵A 也称为正定的其简记为A≻0≻0.​ 简而言之一个对称矩阵的A 如果是正定的则其二次型f(x1,x2,...xn)xTAx(1,2,...) 对于所有非零向量x 其值总为正。 类似地可以给出定义若二次型f(x1,x2,...,xn)xTAx≥0(1,2,...,)≥0 则A 为半正定矩阵定义为A⪰0⪰0 ; 若xTAx≤0≤0则A 为负定矩阵简记为A⪯0⪯0若二次型xTAx 既不是半正定的也不是半负定的就称为矩阵A 为不定的。​ 矩阵A为正定的的充要条件是它的行列式的 det(A)det() 顺序主子式全部大于零即a110,∣∣∣a11,a12a21,a22∣∣∣0,∣∣ ∣ ∣ ∣∣a11a12...,a1na21,a22,...,a2n...,...an1,an2,...,ann∣∣ ∣ ∣ ∣∣(4)(4)110,|11,1221,22|0,|1112...,121,22,...,2...,...1,2,...,|由此可见正定矩阵必然是非奇异的。 由此总结对于实对称矩阵A下面几个命题之间是互相等价的A是正定矩阵A 的所有主子式都是正数A 的各级顺序主子式都是正数下面我们简单讨论以下的正定矩阵的特征值性质性质1实对称矩阵A 是正定矩阵等价于A 的特征值全是正数。证明记λ为A 的一个特征值λ , v 是对应于λ 的一个特征向量于是 Avλv 进而得到如下的λ|v|2vTAv(5)(5)||2又因为 |α|20||20于是 λ00。若A 的任一特征值都是正数则对于任一非零向量v 均有vTAv00, 于是A 为正定矩阵。性质2若实对称矩阵A是正定矩阵则存在唯一的正定矩阵S是使得AS22。证明存在性由于A 是正定矩阵由此存在正交矩阵Q 使得AQDQT(6)(6)其中Ddialog(λ1,λ2,....,λn)(1,2,....,)其中λi 为矩阵A 的特征值由于 λi00于是正定矩阵A可以写为如下AQ⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣√λ1√λ2⋯√λn⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦QTQ⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣√λ1√λ2⋯√λn⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦QT(7)(7)[12⋯][12⋯]记 S:SQ⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣√λ1√λ2⋯√λn⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦QT(8)(8)[12⋯]即有AS22 。由于 S的特征值√λi 均为正数因此S 也是正定矩阵。唯一性假设存在两个正定矩阵S11和S22 满足AS21S22(9)(9)1222需要证明S1S212 。这里采用特征值分解的几何意义来证明特征值关系设λ是A 的任意一个特征值μ 是S11 的对应特征值则 μ2λ2。由于正定矩阵的特征值均为正数因此μ 必须取正值√λ。同理S22对应于同一特征值λ 的特征值也必然是√λ 。因此S11和S22 的特征值完全相同。特征值子空间关系令{λ1,λ2,⋯,λs}{1,2,⋯,} 为A 的全体互异特征值设 Vi 为A 关于特征值λi 的特征子空间。因为 S21A12若x∈Vi∈ 则Axλix代入得S21xλix12 。这说明x 同时也是S2112 的特征向量。通过谱映射定理可知x 属于S11 关于特征值√λi 的特征子空间。即A的特征子空间Vi 恰好就是 S11 关于特征值√λi 的特征子空间。唯一确定同样的推理也适用于S22。因此S11和S22 具有完全相同的特征值都是√λi和完全相同的特征子空间都是Vi。对于一个实对称矩阵的矩阵可正交对角化它的特征值和特征子空间唯一决定了矩阵本身。因此S1S212。综上所述实对称正定矩阵A 存在唯一的正定平方根S使得AS22。性质2若A,B, 都是n×n×正定矩阵则AB 的特征值都是正数。证明由于A,B, 为正定矩阵于是根据性质2可知存在正定矩阵C 满足AC22。下面考虑矩阵C−1ABC−1。注意到(C−1ABC)TCABC−1CBCC−1ABC(10)(10)(−1)−1−1于是C−1ABC−1 是一个实对称矩阵又因为存在正定矩阵D 满足BD22。于是对于任一个非零的向量α∈Rn∈.αTC−1ABCααTCBCα(DCα,DCα)≥0(11)(11)−1(,)≥0上面不等式的等号不成立应为DC 为满秩矩阵进而 DCα≠0≠0。因此C−1ABC−1 是正定矩阵于是它的所有特征值也是正数。